Axiom
Axiom (z řeckého axíōma s významem „to, co se jeví jako zřejmé“) je základním stavebním kamenem mnoha teoretických systému. Jde o východisko, které se v mezích určité teorie, argumentace či formálního systému přijímá jako platné, aniž by bylo nutné jeho další dokazování. „Prokázání“ axiomu je ostatně velmi problematické.
Samotný axiomatický systém nedokáže vždy plně vysvětlit, proč bychom měli přijmout právě jeho výchozí axiomy. Narážíme zde na strukturální limity lidského poznání. Při jakémkoli pokusu o logické dokázání axiomu nevyhnutelně vzniká epistemologický problém známý jako Münchhausenovo trilema.[1]
Na matematické úrovni narážejí axiomatické systémy na tzv. Gödelovy věty o neúplnosti. Ty říkají, že každý konzistentní axiomatizovaný systém obsahuje tvrzení, která uvnitř jeho rámce nelze ani dokázat, ani vyvrátit.[2]
Z pouhého faktu, že je určité tvrzení axiomem, tedy nevyplývá jeho absolutní pravdivost, samozřejmost ani nezpochybnitelnost. To však neznamená, že všechny axiomy jsou náhodné či od základu arbitrární. Axiomy lze kritizovat, vzájemně porovnávat a obhajovat s ohledem na jejich účel a funkci v rámci příslušného systému.
Přestože žádný axiom nelze „prokázat“, jejich zavádění a přijetí je nezbytné při budování explicitně axiomatických a deduktivních systémů. S axiomy se proto nejčastěji setkáme v matematice, informatice a formální logice; axiomatické metody se však uplatňují také v teoretické fyzice, filozofii, ekonomii a právní vědě.
Povaha a původ axiomů
Na filozofické povaze axiomů neexistuje všeobecná shoda. Formalistické přístupy chápou axiomy jako „symbolická pravidla hry“ – jde o konstrukty lidského rozumu a jejich „platnost“ je ryze konvenční.[3][4] Matematičtí platonisté věří, že axiomy jsou objektivní pravdy o matematických entitách, které existují nezávisle na lidském vědomí; axiomy tedy nekonstruujeme, nýbrž objevujeme.[5][6] Konvencionalistické a pragmatické přístupy se na axiomy dívají ryze prakticky a posuzují je zejména podle toho, zda umožňují vytvářet použitelné, konzistentní a intelektuálně plodné systémy.[7][8][9][10]
Posuzování kvality axiomů
Kvalitu axiomů a axiomatických systému lze posuzovat podle několika klíčových vlastností: například podle vnitřní konzistence, jednoduchosti, nezávislosti, intuitivní přijatelnosti, deduktivní plodnosti nebo schopnosti přiměřeně vystihnout zkoumanou oblast.
Důležitá je především vnitřní konzistence celého axiomatického systému. Systém je konzistentní, pokud z jeho axiomů nelze pomocí přijatých pravidel odvozování dokázat současně určitý výrok i jeho negaci.
Dalším kritériem je nezávislost. Axiom je na ostatních axiomech nezávislý, pokud jej nelze odvodit ze zbývajících axiomů daného systému. Jestliže jej z nich odvodit lze, je z hlediska deduktivní síly systému nadbytečný, přestože může být někdy rozumné jej zachovat (například kvůli přehlednosti nebo snadnějšímu používání systému).
Významná je rovněž adekvátnost a deduktivní plodnost. Vhodně zvolený soubor axiomů by měl dostatečně přesně zachycovat zamýšlenou oblast zkoumání a současně umožňovat odvozování dostatečně bohatých a užitečných důsledků. Příliš slabý systém nemusí umožnit dokázat podstatná tvrzení, zatímco příliš silné nebo nevhodně zvolené axiomy mohou vést k rozporům či zahrnovat nezamýšlené důsledky.
Zaměnitelné a blízké pojmy
Axiom je třeba odlišovat od teorému, premisy a definice.
Teorém je tvrzení, které lze z axiomů a případně z dříve dokázaných teorémů odvodit pomocí stanovených pravidel logického usuzování. Označení určitého výroku za teorém vyjadřuje především jeho dokazatelnost uvnitř daného systému. Jestliže jsou axiomy pravdivé v určité interpretaci a použitá pravidla odvozování zachovávají pravdivost, jsou v ní platné i odvozené teorémy.
Premisa je tvrzení přijaté jako východisko konkrétního argumentu, z něhož se spolu s případnými dalšími premisami odvozuje závěr. Na rozdíl od axiomu nemusí být základním východiskem celé teorie. V jednotlivém argumentu může jako premisa vystupovat také teorém, empirické tvrzení nebo předpoklad přijatý pouze pro účely dané úvahy.
Definice stanovuje nebo objasňuje význam určitého výrazu. Ve formálním systému zpravidla zavádí terminologii, symbol nebo zkratku a na rozdíl od axiomu by sama neměla přidávat nový věcný předpoklad. Správně vytvořená definice rozšiřuje způsob vyjadřování systému, nikoli soubor tvrzení, která v něm lze dokázat. Definice tedy sama o sobě neurčuje pravdivostní hodnotu.
Příklady filozofických axiomů
- Axiom jednání (praxeologie): Člověk jedná.[11] Jednáním se zde rozumí účelové chování, při němž člověk volí prostředky k dosažení svých subjektivně zvolených cílů. Reflexivní, mimovolní nebo nevědomé tělesné procesy se za jednání v tomto smyslu nepovažují.[12]
- Axiom existence (objektivismus): Existence existuje – alespoň něco existuje. Objektivismus tento výrok pokládá za bezprostředně zřejmý a za předpoklad jakéhokoli poznání nebo popírání.[13][14]
- Princip sebevlastnictví (libertarianismus): Každý člověk má původní a výlučnou autoritu nad vlastním tělem.[15]Jde o normativní princip, který některé libertariánské teorie přijímají jako základní východisko.[16][17]
Odkazy
Související články
Reference
- ↑ ALBERT, Hans. Treatise on Critical Reason. Přel. Mary Varney Rorty. Princeton: Princeton University Press, 1985, kap. I, § 2, s. 16–21.
- ↑ GÖDEL, Kurt. On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I. In: VAN HEIJENOORT, Jean, ed. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967, s. 596–616.
- ↑ HILBERT, David; BERNAYS, Paul. Grundlagen der Mathematik. Sv. I. Berlin: Julius Springer, 1934; sv. II, 1939.
- ↑ THOMAE, Johannes. Elementare Theorie der analytischen Functionen einer complexen Veränderlichen. 2. vyd. Halle an der Saale: Louis Nebert, 1898
- ↑ GÖDEL, Kurt. Russell’s Mathematical Logic. In: SCHILPP, Paul Arthur, ed. The Philosophy of Bertrand Russell. Evanston a Chicago: Northwestern University, 1944, s. 123–153, zejména s. 137.
- ↑ GÖDEL, Kurt. What Is Cantor’s Continuum Problem? The American Mathematical Monthly. 1947, roč. 54, č. 9, s. 515–525.
- ↑ POINCARÉ, Henri. La Science et l’Hypothèse. Paris: Ernest Flammarion, 1902, část II, kap. III „Les géométries non euclidiennes“.
- ↑ LEWIS, Clarence Irving. A Pragmatic Conception of the A Priori. The Journal of Philosophy. 1923, roč. 20, č. 7, s. 169–177.
- ↑ LEWIS, Clarence Irving. Mind and the World-Order: Outline of a Theory of Knowledge. New York: Charles Scribner’s Sons, 1929.
- ↑ CARNAP, Rudolf. The Logical Syntax of Language. Přel. Amethe Smeaton. London: Kegan Paul, 1937, § 17 „The Principle of Tolerance in Syntax“.
- ↑ MISES, Ludwig von. Human Action: A Treatise on Economics. New Haven: Yale University Press, 1949, část I, kap. I „Acting Man“
- ↑ ROTHBARD, Murray N. Man, Economy, and State. Princeton: D. Van Nostrand, 1962, kap. I, § 1 „The Concept of Action“.
- ↑ RAND, Ayn. Atlas Shrugged. New York: Random House, 1957, část III, kap. VII „This Is John Galt Speaking“.
- ↑ RAND, Ayn. Introduction to Objectivist Epistemology. New York: The Objectivist, 1967, kap. VI „Axiomatic Concepts“.
- ↑ LOCKE, John. Two Treatises of Government. London, 1689, Druhé pojednání, kap. V „Of Property“, § 27.
- ↑ ROTHBARD, Murray N. For a New Liberty: The Libertarian Manifesto. New York: Macmillan, 1973, kap. II „Property and Exchange“, s. 33–34.
- ↑ ROTHBARD, Murray N. The Ethics of Liberty. Atlantic Highlands, NJ: Humanities Press, 1982, zejména kap. VI „A Crusoe Social Philosophy“ a kap. VII „Interpersonal Relations: Voluntary Exchange“.